The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1(x, l), rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Rewrite Strategy: INNERMOST

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1(x, l), rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(3) SlicingProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Sliced the following arguments:
rev1/0
rev1/1

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

S is empty.
Rewrite Strategy: INNERMOST

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
head :: nil:cons → rev1
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
rev, rev2, last

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = rev2

(8) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
head :: nil:cons → rev1
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

Generator Equations:
gen_nil:cons4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons4_0(+(x, 1)) ⇔ cons(rev1, gen_nil:cons4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
last, rev, rev2

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = rev2

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Induction Base:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →_R^Ω(1)
if(empty(gen_nil:cons4_0(0)), rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →_R^Ω(1)
if(true, rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →_R^Ω(1)
rev1

Induction Step:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(+(n6_0, 1))) →_R^Ω(1)
if(empty(gen_nil:cons4_0(+(n6_0, 1))), rev1, gen_nil:cons4_0(+(n6_0, 1))) →_R^Ω(1)
if(false, rev1, gen_nil:cons4_0(+(1, n6_0))) →_R^Ω(1)
last(head(gen_nil:cons4_0(+(1, n6_0))), tail(gen_nil:cons4_0(+(1, n6_0)))) →_R^Ω(1)
last(rev1, tail(gen_nil:cons4_0(+(1, n6_0)))) →_R^Ω(1)
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) →_IH
rev1

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
head :: nil:cons → rev1
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons4_0(+(x, 1)) ⇔ cons(rev1, gen_nil:cons4_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
rev2, rev

They will be analysed ascendingly in the following order:
rev = rev2

(12) RewriteLemmaProof (EQUIVALENT transformation)

Proved the following rewrite lemma:
rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(n321_0)) → gen_nil:cons4_0(n321_0), rt ∈ Ω(2ⁿ)

Induction Base:
rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(+(n321_0, 1))) →_R^Ω(1)
rev(cons(rev1, rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(n321_0)))) →_IH
rev(cons(rev1, gen_nil:cons4_0(c322_0))) →_R^Ω(1)
cons(rev1, rev2(rev1, gen_nil:cons4_0(n321_0))) →_IH
cons(rev1, gen_nil:cons4_0(c322_0))

We have rt ∈ Ω(2ⁿ) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(2ⁿ)

(13) BOUNDS(2^n, INF)

(14) Obligation:

Innermost TRS:
Rules:
empty(nil) → true
empty(cons(x, l)) → false
head(cons(x, l)) → x
tail(nil) → nil
tail(cons(x, l)) → l
rev(nil) → nil
rev(cons(x, l)) → cons(rev1, rev2(x, l))
last(x, l) → if(empty(l), x, l)
if(true, x, l) → x
if(false, x, l) → last(head(l), tail(l))
rev2(x, nil) → nil
rev2(x, cons(y, l)) → rev(cons(x, rev2(y, l)))

Types:
empty :: nil:cons → true:false
nil :: nil:cons
true :: true:false
cons :: rev1 → nil:cons → nil:cons
false :: true:false
head :: nil:cons → rev1
tail :: nil:cons → nil:cons
rev :: nil:cons → nil:cons
rev1 :: rev1
rev2 :: rev1 → nil:cons → nil:cons
last :: rev1 → nil:cons → rev1
if :: true:false → rev1 → nil:cons → rev1
hole_true:false1_0 :: true:false
hole_nil:cons2_0 :: nil:cons
hole_rev13_0 :: rev1
gen_nil:cons4_0 :: Nat → nil:cons

Lemmas:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n6₀)

Generator Equations:
gen_nil:cons4_0(0) ⇔ nil
gen_nil:cons4_0(+(x, 1)) ⇔ cons(rev1, gen_nil:cons4_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(15) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
last(rev1, gen_nil:cons4_0(n6_0)) → rev1, rt ∈ Ω(1 + n6₀)

(16) BOUNDS(n^1, INF)